Algebra Baldor: Preliminares - Ejercicio 1

Algebra Baldor con Ejercicios Solucionados

CONCEPTO DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMI­TIVOS

(25,000-5,000 A. C) Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre pri­mitivo. Haciendo marcas en los troncos de los árboles lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; así surgió la Aritmética. El origen del Algebra el posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hom­bre alcanzara un concepto abstracto del número, base indispensable para la formación de fa ciencia algebraica.

PRELIMINARES

1. ÁLGEBRA

Es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible .

2 CARÁCTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIA CON LA ARITMETICA

El concepto de la cantidad en Algebra es mucho más amplio que en Aritmética .
En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor : veinte ; para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un número distinto de 20 .
En Algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores.
Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado .

3. NOTACION ALGEBRAICA

Los símbolos usados en Algebra para representar las cantidades son los números y las letras .

4. FORMULAS

Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas .
Fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general .

5. SIGNOS DEL ALGEBRA

Los signos empleados en Algebra son de tres clases : Signos de Operación, Signos de Relación y Signos de Agrupación .

6. SIGNOS DE OPERACION

En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética : Suma, Resta, Multiplicación, División, Elevación a Potencias y Extracción de Raíces, que se indican con los signos siguientes:

7. COEFICIENTE

En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.
Así, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a = a + a + a ; en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b=b+b-'-b+b+b .
Estos son coeficientes numéricos.
En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab = b + b + b + b . . . a veces. Este es un coeficiente literal.

Resumen:

8. SIGNOS DE RELACIÓN

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son : =, que se lee igual a . Así, a = b se lee "a igual a b".
>, que se lee mayor que . Así, x + y > m se lee "x + y mayor que m".
<, que se lee menor que . Así, a < b + c se lee "a menor que b + c".

9. SIGNOS DE AGRUPACION

Los signos de agrupación son : el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves {} y la barra o vínculo ‒‒
Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero . Así, (a+ b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c ; [a - b] m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m ; { a + b 1 _ { c - d } indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

10. MODO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS EN ARITMETICA Y EN ALGEBRA

Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia entre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas, fundado este último en la notación algebraica y en la generalización que ésta implica .

11. CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS

En Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o ¡nodo de ser (valor relativo) de la cantidad por medio de los signos + y -, anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo - a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas) .
Así, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo -.
Para expresar que una persona tiene $100 de haber, diremos que tiene + $100, y para expresar que debe $100, diremos que tiene - $100 .
Los grados sobre cero del termómetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo -. Así, para indicar que el termómetro marca 100 sobre cero escribiremos + 100 y para indicar que marca 8° bajo cero escribiremos -8° El camino recorrido a la derecha o hacia de un punto se designa con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de un punto se representa con el signo - . Así, si hemos recorrido 200 m .
a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido +200 m ., y si recorremos 300 m . a la izquierda de un punto escribiremos -300 m .
El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el tiempo transcurrido antes de Cristo, negativo . Así, + 150 años significa 150 años D . C. y - 78 años significa 78 años A . C.
En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la porción que se halla del suelo hacia y con el signo - la porción que se halla del suelo hacia abajo. Así, para expresar que la longitud del poste que se halla del suelo hacia mide 15 m ., escribiremos + 15 m ., y si la porción introducida en el suelo es de 8 m ., escribiremos - 8 m .
La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo - ; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa .
Por lq tanto, un punto de la Tierra cuya situación geográfica sea : + 45° de longitud y -15° de latitud se hallará a 45° al este del primer meridiano y a 15° bajo el Ecuador .

12. ELECCION DEL SENTIDO POSITIVO

La fijación del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad ; es decir,

13. CERO

es la ausencia de cantidad . Así, representar el estado económico de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas .
Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores que 0. Así, + 3 es una cantidad que es tres unidades mayor que 0 ; + 5 es una cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que - 3 es una cantidad que es tres unidades menor que 0 y - 5 es una cantidad que es cinco unidades menor que 0 .
De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; así, + 5 es mayor que + 3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor la de menor valor absoluto : - 3 es mayor que - 5; - 9 es menor que - 4.

EJERCICIOS SOBRE CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS

1) Un hombre cobra $130 . Paga una deuda de $80 y luego hace compras por valor de $95. ¿Cuánto tiene? Teniendo $130, pagó $80; luego, se quedó con $50 . Después hace un gasto de $95 y como sólo tiene $50 incurre en una deuda de $45 . Por lo tanto, tiene actualmente - $45. R.

1. Cantidades positivas y negativas

Videos sobre la solución de los ejercicios

Ejercicios 1, 2, 3 y 4:


Ejercicios 5, 6, 7 y 8:

Solución de los Ejercicios

1.  Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico.

Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta:  el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares.

2.  Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de  1 515. Expresar su estado económico.

Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.

Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres.

3.  Tenía $200. Cobre $56 y pagué deudas por  $189. ¿Cuánto tengo?

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,  calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene + $67.

4.  Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si después recibo
2 280. ¿Cuál es mi estado económico?

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,  calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: su estado económico es de + 437 soles.

5.  Tenía $20. Pagué $15 que debía, después cobré $40 y luego hice gastos por $75. ¿Cuánto tengo?

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y de las negativas y, luego,  calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene - $30.

6.  Enrique hace una compra por $67; después recibe $72; luego hace otra compra por $16 y después recibe $2. Expresar su estado económico.

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,  calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: El estado económico de Enrique es de - $9.

7.  Después de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo?

Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego,  calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto.

Respuesta: Ud. tiene - 70 colones.

8.  Pedro tenía tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $ 200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene?

Nota: cuando los subtotales de las cantidades positivas y el de las negativas son iguales, el total es cero.

Respuesta: Pedro tiene 0 pesos.
 

Soluciones de Ejercicios y Videos obtenidos en: calculo21.org