Algebra Baldor: Preliminares - Concepto de número
Algebra Baldor con Ejercicios Solucionados
NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO
El concepto de número natural (véase Aritmética Teórico-Práctica, 33), que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la generalización y abstracción características de la operatoria algebraica .En Algebra se desarrolla un cálculo de validez general aplicable a cualquier tipo especial de número. Conviene pues, considerar cómo se ha ampliado el campo de los números por la introducción de nuevos entes, que satisfacen las leyes que regulan las operaciones fundamentales, ya que, como veremos más adelante, el número natural (1) no nos sirve para efectuar la resta y la división en todos los casos . Baste por el momento, dado el nivel matemático que alcanzaremos a lo largo de este texto, explicar cómo se ha llegado al concepto de número real .
Para hacer más comprensible la ampliación del campo de los números, adoptaremos un doble criterio. Por un lado, un criterio histórico que nos haga conocer la gradual aparición de las distintas clases de números ; por otro, un criterio intuitivo que nos ponga de manifiesto cómo ciertas necesidades materiales han obligado a los matemáticos a introducir nuevos entes numéricos .
Este doble criterio, justificable por la índole didáctica de este libro, permitirá al principiante alcanzar una comprensión clara del concepto formal (abstracto) de los números reales .
EL NUMERO ENTERO Y EL NUMERO FRACCIONARIO
Mucho antes de que los griegos (Eudoxio, Euclides, Apolonio, etc .) realizaran la sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios (según muestran las tablillas cuneiformes que datan de 2000-1800 A.C.) y los egipcios (como se ve en el papiro de Rhind) conocían las fracciones .La necesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen, el peso, etc., llevó al hombre a introducir los números fraccionarios .
Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para medir una magnitud continua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una de estas dos cosas : que la unidad esté contenida un número entero de veces, o que no esté contenida un número entero de veces .('.,) En el primer caso, representamos el resultado de la medición con un número entero . En el segundo caso, tendremos que fraccionar la unidad elegida en dos, en tres, o en cuatro partes iguales ; de este modo, hallaremos una fracción de la unidad que esté contenida en la magnitud que tratamos de medir . El resultado de esta última medición lo expresamos con un par de números enteros, distintos de cero, llamados respectivamente numerador y denominador. El denominador nos dará el número de partes en que hemos dividido la unidad, y el numerador, el número de subunidades contenidas en la magnitud que acabamos de medir. Surgen de este modo los números fraccionarios . Son números fraccionarios 1/2 . 1/3 . 3/5, etc.
Podemos decir también, que son números fraccionarios los que nos permiten expresar el cociente de una división inexacta, o lo que es lo 'trismo, una división en la cual el dividendo no es múltiplo del divisor .
Como se ve, en oposición a los números fraccionarios tenernos los números enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente de una división exacta, como por ejemplo, 1, 2, 3, etc.
EL NUMERO RACIONAL Y EL NUMERO IRRACIONAL
Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, varaos a ver ahora cuándo y cómo surgieron los números irracionales .Es indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los números irracionales . Los historiadores de la matemática, están de acuerdo en atribuir a Pitágoras de Samos (540 A.C .), el descubrimiento de estos números, al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo .
Más tarde, Teodoro de Cirene (400 A.C.), matemático de la escuela pitagórica, demostró geométricamente que ‒‒‒ etc., son irracionales.
Euclides (300 A.C.), estudió en el Libro X de sus "Elementos", ciertas magnitudes que al ser medidas no encontramos ningún número entero ni fraccionario que las exprese . Estas magnitudes se llaman inconmensurables, y los números que se originan al medir tales magnitudes se llaman irracionales . ( > Ejemplos de tales magnitudes son la relación del lado (le un cuadrado con la diagonal del mismo, que se expresa con el número irracional ‒‒‒; y la relación de la circunferencia, al diámetro que se expresa con la letra π = 3.141592 . . .
Como consecuencia de la introducción de los números irracionales, consideramos racionales el conjunto de los números fraccionarios y el conjunto de los números enteros . Definimos el número racional como aquel número que puede expresarse como cociente de dos enteros . Y el número irracional como aquel número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros.
Llamamos número reales al conjunto de los números racionales e irracionales.
LOS NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Los números negativos no fueton conocidos por los matemáticos de la antigüedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo III D. C.?), que en su Aritmética, al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +.En el siglo VI, los hindúes Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos de un modo práctico, sin llegar a dar una definición de ellos . Durante la Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números negativos, y fue Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos números. Posteriormente Harriot (1560-1621) introdujo los signos + y - para caracterizar los números positivos y negativos .
La significación de los números relativos o con signos (positivos y negativos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geográfica de una región determinada ; o de expresar el grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar de longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente (Greenwich) . En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero o grados bajo cero . Convencionalmente fijamos los números positivos o con signo + en una dirección, y los números negativos o con signo -, en la dirección opuesta.
Si sobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la derecha, señalamos puntos que representan una determinada unidad, nos resultan los puntos A, B, C, etc. Si sobre esa misma semirrecta, a partir del punto cero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendremos los puntos a, b, c, etc . Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indicados a la derecha del punto cero representan números positivos (A, B, C, etc .) ; los puntos señalados a la izquierda (a, b, c, etc.), representarán números negativos.
Históricamente, los números negativos surgen para hacer posible la resta en todos los casos . De este modo, la resta se convierte en una operación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menor un sustraendo mayor.
Los números y los símbolos literales negativos se distinguen por el signo - que llevan antepuesto . Los números positivos y su representación literal llevan el signo +, siempre que no inicien una expresión algebraica .
El número cero. Cuando tratamos de aprehender el concepto de número natural, vemos cómo éste surge de la comparación de conjuntos equivalentes o coordinables entre sí . Por extensión llamamos conjunto al que tiene un solo elemento y que se representa por el número 1 . Ahora, consideramos el número cero como expresión de un conjunto nulo o vacío, es decir, un conjunto que carece de elementos .
Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre los números negativos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo .
El siguiente diagrama nos aclarará las distintas clases de números con los cuales vamos a trabajar :
NUMEROS REALES
LEYES FORMALES DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS REALES
Hemos visto sumariamente cómo a través del curso de la historia de las matemáticas, se ha ido ampliando sucesivamente el campo de los números, hasta llegar al concepto de número real . El camino recorrido ha sido, unas veces, el geométrico, que siempre desemboca en la Aritmética pura, formal ; otras veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar en lo intuitivo, en lo geométrico . Como ejemplos del primer caso, tenemos los números irracionales, introducidos como razón de dos segmentos con el propósito de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible la expresión del resultado de la radicación inexacta . Y también, los números fraccionarios que surgen para expresar el resultado de medir magnitudes conmensurables, y que hacen posible la división inexacta, Como ejemplo del segundo caso, están los números negativos que aparecen por primera vez como raíces de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando el minuendo es menor que el sustraendo esta operación carece de sentido cuando trabajamos con números naturales . Más tarde, estos números negativos (relativos) servirán para expresar los puntos a uno y otro lado de una recta indefinida .Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico, vamos a exponer las leyes formales (esto es, que no toman en cuenta la naturaleza de los números) de la suma y de la multiplicación, ya que las demás operaciones fundamentales pueden explicarse como inversas de éstas, así, la resta,
la división, la potenciación, la logaritmación y la radicación . Conviene ir adaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estas leyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas que ulteriormente le plantearán las matemáticas superiores. Por otra parte, el conjunto de estas leyes formales constituirá una definición indirecta de los números reales y de las operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración, pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas .
IGUALDAD
I. Axioma de identidad: a = a.II. Axioma de reciprocidad : si a = b, tenemos que b = a.
III .Axioma de transitividad : si a = b y b = c, tenemos que a = c.
SUMA O ADICION
1. Axioma de uniformidad : la suma de dos números es siempre igual, es decir, única ; así, si a = b y c = d, tenemos que a + c = b + d .II. Axioma de conmutatividad : a + b = b + a.
III. Axioma de asociatividad : (a + b) + c = a + (b + c) .
IV. Axioma de identidad, o módulo de la suma : hay un número y sólo un número, el cero, de modo que a + 0 = 0 + a = a, para cualquier valor de a.
De ahí que el cero reciba el nombre'de elemento idéntico o módulo de la suma .
MULTIPLICACION
I. Axioma de uniformidad : el producto de dos números es siempre igual, es decir, único, así si a = b y c = d, tenemos que ac = bd.II. Axioma de conmutatividad : ab = ba.
III . Axioma de asociatividad : (ab) c = a (bc) .
IV. Axioma de distributividad : con respecto a la suma tenemos que a (b + c) = ab + ac.
V. Axioma de identidad, o módulo del producto : hay un número y sólo un número, el uno (1), de modo que a .1 = 1 . a = a, para cualquier valor de a.
VI . Axioma de existencia del inverso : para todo número real a 7~= 0 (a distinto de cero) corresponde un número real, y sólo uno, x, de modo que ax = 1 . Este número x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por 1/a.
AXIOMAS DE ORDEN
I . Tricotomía : Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una relación, y sólo una, entre ambos, que a > b; a = b o a < b .II. Monotonía de la suma : si a > b tenemos que a + c > b + c.
III. Monotonía de la multiplicación: si a > b y c > 0 tenemos que ac > bc.
AXIOMA DE CONTINUIDAD
1. Si tenemos dos conjuntos de números reales A y B, de modo que todo número de A es menor que cualquier número de B, existirá siempre un número real c con el que se verifique a :5 c :5 b, en que a es un número que está dentro del conjunto A, y b es un número que está dentro del conjunto B .OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS RELATIVOS
SUMA DE NUMEROS RELATIVOS
En la suma o adición de números relativos podemos considerar cuatro casos : sumar dos números positivos ; sumar dos números negativos ; sumar un positivo con otro negativo, y sumar el cero con un número positivo o negativo .1) Suma de dos números positivos
ReglaPara sumar dos números positivos se procede a la suma aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo
2) Suma de dos números negativos
ReglaPara sumar dos números negativos se procede a la suma
3) Suma de un número positivo y otro negativo
ReglaPara sumar un número positivo y un número negativo se procede a hallar la diferencia aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo del número mayor . Cuando los dos números tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es cero.
4) Suma de cero y un número positivo o negativo
ReglaLa suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará el mismo número positivo o negativo .
MULTIPLICACION DE NUMEROS RELATIVOS
ReglaEl producto de dos números relativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos . El producto hallado llevará signo positivo (+), si los signos de ambos factores son iguales ; llevará signo negativo (-), si los factores tienen signos distintos . Si uno de los factores es 0 el producto será 0 .
REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO DE DOS NUMEROS RELATIVOS
El producto de dos números relativos puede expresarse geométricamente como el área de un rectángulo cuyo largo y cuyo ancho vienen dados por ambos números . A esta área podemos atribuirle un valor positivo o negativo,
POTENCIA DE NUMERO$ RELATIVOS
Llamamos potencia de un número relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera . Si a es un número relativo cualquiera y n > 1 es un número natural, tendremos la notación a°, que se lee a elevado a la enésima potencia. e indica que a debe tomarse como factor n veces .
PRODUCTO DE DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE
ReglaPara multiplicar dos potencias de igual base, se eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los exponentes respectivos.
POTENCIA DE UNA POTENCIA
Regla Para hallar la potencia de una potencia se multiplican los exponentes y se mantiene la base primitiva .
UNIFORMIDAD DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS RELATIVOS
Hemos visto en las operaciones estudiadas, a saber : suma, resta, multiplicación, potenciación y división, que se cumple en todas ellas el axioma (le uniformidad . Quiere esto significar que cuando someternos dos números relativos a cualquiera de las operaciones mencionadas, el resultado es uno, y sólo uno, es decir, único . Sin embargo, cuando extraemos la raíz cuadrada de un número positivo, tenemos un resultado doble . Pues como veremos, al estudiar la extracción (le las raíces, un número positivo cualquiera siempre tiene dos raíces de grado par,una positiva y otra negativa .POSIBILIDAD DE AMPLIAR EL CAMPO NUMERICO
Los números reales no cierran la posibilidad de ampliación del campo numérico. Tal posibilidad se mantiene abierta para la introducción de nuevos entes, siempre que tales entes cumplan las leyes formales . Dentro de los límites de este texto, el estudiante todavía se enfrentará con una nueva ampliación del campo numérico . Se trata del número complejo, que es un par de números dados en un orden determinado y que está constituido por un número real y un número imaginario, Con estos números podremos representar un punto cualquiera en el plano. En el capítulo XXXII se presentará una discusión amplia sobre estos números.